Distribution exponentielle

Qu'est-ce que la distribution exponentielle?

La distribution exponentielle fait référence à la distribution de probabilité continue et constante qui est en fait utilisée pour modéliser la période de temps qu'une personne doit attendre avant que l'événement donné se produise et cette distribution est une contrepartie continue d'une distribution géométrique qui est plutôt distincte.

Formule de distribution exponentielle

Une variable aléatoire continue x (avec un paramètre d'échelle λ> 0) est dite avoir une distribution exponentielle uniquement si sa fonction de densité de probabilité peut être exprimée en multipliant le paramètre d'échelle par la fonction exponentielle du paramètre d'échelle moins et x pour tout x supérieur à ou égale à zéro, sinon la fonction de densité de probabilité est égale à zéro.

Mathématiquement, la fonction de densité de probabilité est représentée par,

tel que la moyenne est égale à 1 / λ et la variance est égale à 1 / λ2.

Calcul de la distribution exponentielle (étape par étape)

  • Étape 1: Tout d'abord, essayez de déterminer si l'événement considéré est de nature continue et indépendante et se produit à un rythme à peu près constant. Tout événement pratique garantira que la variable est supérieure ou égale à zéro.
  • Étape 2: Ensuite, déterminez la valeur du paramètre d'échelle, qui est invariablement l'inverse de la moyenne.
    • λ = 1 / moyenne
  • Étape 3: Ensuite, multipliez le paramètre d'échelle λ et la variable x , puis calculez la fonction exponentielle du produit multipliée par moins un, c'est-à-dire e– λ * x.
  • Étape 4: Enfin, la fonction de densité de probabilité est calculée en multipliant la fonction exponentielle et le paramètre d'échelle.

Si la formule ci-dessus est vraie pour tout x supérieur ou égal à zéro, alors x est une distribution exponentielle.

Exemple

Vous pouvez télécharger ce modèle Excel de distribution exponentielle ici - Modèle Excel de distribution exponentielle

Prenons l'exemple, x qui est le temps mis (en minutes) par une personne de bureau pour livrer du bureau du directeur au bureau du commis. La fonction du temps pris est supposée avoir une distribution exponentielle avec une durée moyenne égale à cinq minutes.

Étant donné que x est une variable aléatoire continue puisque le temps est mesuré.

Moyenne, μ = 5 minutes

Par conséquent, paramètre d'échelle, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20

Par conséquent, la fonction de probabilité de distribution exponentielle peut être dérivée comme suit:

f (x) = 0,20 e - 0,20 * x

Maintenant, calculez la fonction de probabilité à différentes valeurs de x pour dériver la courbe de distribution.

Pour x = 0

la fonction de probabilité de distribution exponentielle pour x = 0 sera,

De même, calculez la fonction de probabilité de distribution exponentielle pour x = 1 à x = 30

  • Pour x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
  • Pour x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
  • Pour x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
  • Pour x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
  • Pour x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
  • Pour x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
  • Pour x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
  • Pour x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
  • Pour x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
  • Pour x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
  • Pour x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
  • Pour x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
  • Pour x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
  • Pour x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
  • Pour x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
  • Pour x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
  • Pour x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
  • Pour x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
  • Pour x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
  • Pour x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
  • Pour x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
  • Pour x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
  • Pour x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
  • Pour x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
  • Pour x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
  • Pour x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
  • Pour x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
  • Pour x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
  • Pour x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
  • Pour x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
  • Pour x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000

Nous avons dérivé la courbe de distribution comme suit,

Pertinence et utilisation

Bien que l'hypothèse d'un taux constant soit très rarement satisfaite dans les scénarios du monde réel, si l'intervalle de temps est sélectionné de telle sorte que le taux est à peu près constant, alors la distribution exponentielle peut être utilisée comme un bon modèle approximatif. Il a de nombreuses autres applications dans le domaine de la physique, de l'hydrologie, etc.

En statistique et en théorie des probabilités, l'expression de distribution exponentielle fait référence à la distribution de probabilité qui est utilisée pour définir le temps entre deux événements successifs qui se produisent indépendamment et en continu à un taux moyen constant. C'est l'une des distributions continues largement utilisées et elle est strictement liée à la distribution de Poisson dans Excel.