Définition du théorème de limite centrale
Le théorème central limite stipule que les échantillons aléatoires d'une variable aléatoire de population avec n'importe quelle distribution se rapprochent d'une distribution de probabilité normale à mesure que la taille de l'échantillon augmente et il suppose que lorsque la taille de l'échantillon dans la population dépasse 30, la moyenne de l'échantillon dont la moyenne de toutes les observations de l'échantillon sera proche de égale à la moyenne de la population.
Formule du théorème de limite centrale
Nous avons déjà discuté du fait que lorsque la taille de l'échantillon dépasse 30, la distribution prend la forme d'une distribution normale. Pour déterminer la distribution normale d'une variable, il est important de connaître sa moyenne et sa variance. Une distribution normale peut être définie comme
X ~ N (µ, α)
Où
- N = nombre d'observations
- µ = moyenne des observations
- α = écart type
Dans la plupart des cas, les observations ne révèlent pas grand-chose sous sa forme brute. Il est donc très important de normaliser les observations afin de pouvoir comparer cela. Cela se fait à l'aide du score z. Il est nécessaire de calculer le score Z pour une observation. La formule pour calculer le z-score est
Z = (X- µ) / α / √n
Où
- Z = score Z des observations
- µ = moyenne des observations
- α = écart type
- n = taille de l'échantillon
Explication
Le théorème central limite stipule que les échantillons aléatoires d'une variable aléatoire de population avec n'importe quelle distribution se rapprocheront d'une distribution de probabilité normale à mesure que la taille de l'échantillon augmente. Le théorème de la limite centrale suppose que lorsque la taille de l'échantillon dans la population dépasse 30, la moyenne de l'échantillon dont la moyenne de toutes les observations de l'échantillon sera proche de égale à la moyenne de la population. De plus, l'écart type de l'échantillon lorsque la taille de l'échantillon dépasse 30 sera égal à l'écart type de la population. Comme l'échantillon est choisi au hasard parmi l'ensemble de la population et que la taille de l'échantillon est supérieure à 30, cela aide à tester les hypothèses et à construire l'intervalle de confiance pour les tests d'hypothèse.
Exemples de formule de théorème de limite centrale (avec modèle Excel)
Vous pouvez télécharger ce modèle Excel de formule de théorème de limite centrale ici - Modèle Excel de formule de théorème de limite centraleExemple 1
Comprenons le concept d'une distribution normale à l'aide d'un exemple. Le rendement moyen d'un fonds commun de placement est de 12% et l'écart-type par rapport au rendement moyen d'un placement dans un fonds commun de placement est de 18%. Si nous supposons que la distribution du rendement est normalement distribuée, interprétons la distribution pour le rendement de l'investissement du fonds commun de placement.
Donné,
- Le rendement moyen de l'investissement sera de 12%
- L'écart type sera de 18%
Ainsi, pour connaître le rendement d'un intervalle de confiance de 95%, nous pouvons le découvrir en résolvant l'équation comme
- Gamme supérieure = 12 + 1,96 (18) = 47%
- Plage inférieure = 12 - 1,96 (18) = -23%
Le résultat signifie que 95% des fois le rendement du fonds commun de placement sera compris entre 47% et -23%. Dans cet exemple, la taille de l'échantillon qui est le retour d'un échantillon aléatoire de plus de 30 observations de rendement nous fournira le résultat pour le rendement de la population du fonds commun de placement puisque la distribution de l'échantillon sera normalement distribuée.
Exemple # 2
En continuant avec le même exemple, déterminons quel sera le résultat pour un intervalle de confiance à 90%
Donné,
- Le rendement moyen de l'investissement sera de 12%
- L'écart type sera de 18%
Ainsi, afin de connaître le rendement d'un intervalle de confiance de 90%, nous pouvons le découvrir en résolvant l'équation comme
- Gamme supérieure = 12 + 1,65 (18) = 42%
- Plage inférieure = 12 - 1,65 (18) = -18%
Le résultat signifie que 90% des fois le rendement du fonds commun de placement sera compris entre 42% et -18%.
Exemple # 3
En continuant avec le même exemple, déterminons quel sera le résultat pour un intervalle de confiance de 99%
Donné,
- Le rendement moyen de l'investissement sera de 12%
- L'écart type sera de 18%
Ainsi, afin de connaître le rendement d'un intervalle de confiance de 90%, nous pouvons le découvrir en résolvant l'équation comme
- Plage supérieure = 12 + 2,58 (18) = 58%
- Plage inférieure = 12 - 2,58 (18) = -34%
Le résultat signifie que 99% des fois, le rendement du fonds commun de placement sera compris entre 58% et -34%.
Pertinence et utilisation
Le théorème de la limite centrale est extrêmement utile car il permet au chercheur de prédire la moyenne et l'écart type de l'ensemble de la population à l'aide de l'échantillon. Comme l'échantillon est choisi au hasard parmi l'ensemble de la population et que la taille de l'échantillon est supérieure à 30, alors toute taille d'échantillon aléatoire prélevée dans la population se rapprochera d'une distribution normale, ce qui aidera à tester l'hypothèse et à construire l'intervalle de confiance pour l'hypothèse. essai. Sur la base du théorème central limite,le chercheur est en mesure de choisir n'importe quel échantillon aléatoire de la population entière et lorsque la taille de l'échantillon est supérieure à 30, il peut alors prédire la population à l'aide de l'échantillon car l'échantillon suivra une distribution normale et aussi comme moyenne et l'écart type de l'échantillon sera le même que la moyenne et l'écart type de la population.
