Formule de distribution binomiale

Formule pour calculer la distribution binomiale

La formule de distribution binomiale est utilisée pour calculer la probabilité d'obtenir x succès dans les n essais de l'expérience binomiale qui sont indépendants et la probabilité est dérivée par combinaison entre le nombre d'essais et le nombre de succès représentés par nCx est multipliée par la probabilité du succès élevé à la puissance du nombre de succès représentée par px qui est encore multipliée par la probabilité de l'échec élevée à la puissance de la différence entre le nombre de succès et le nombre d'essais représentés par (1-p) nx.

La probabilité d'obtenir x succès dans n essais indépendants d'une expérience binomiale est donnée par la formule suivante de distribution binomiale:

P (X) = n C x px (1-p) nx

où p est la probabilité de succès

Dans l'équation ci-dessus, n C x est utilisé, ce qui n'est rien d'autre qu'une formule de combinaison. La formule pour calculer les combinaisons est donnée par n C x = n! / X! (nx)!  où n représente le nombre d'items (essais indépendants) et x représente le nombre d'items choisis à la fois (succès).

Dans le cas n = 1 dans une distribution binomiale, la distribution est connue sous le nom de distribution de Bernoulli. La moyenne d'une distribution binomiale est np. La variance de la distribution binomiale est np (1-p).

Calcul de la distribution binomiale (étape par étape)

Le calcul de la distribution binomiale peut être dérivé en utilisant les quatre étapes simples suivantes:

  • Étape 1: Calculez la combinaison entre le nombre d'essais et le nombre de succès. La formule pour n C x est où n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Pour un nombre n, la factorielle de n peut s'écrire, n! = n * (n-1)! Par exemple, 5! est 5 * 4 * 3 * 2 * 1
  • Étape 2: Calculez la probabilité de succès élevée à la puissance du nombre de succès que sont px.
  • Étape 3: Calculez la probabilité d'échec élevée à la puissance de la différence entre le nombre de succès et le nombre d'essais. La probabilité d'échec est de 1 p. Ainsi, cela se réfère à l'obtention de (1-p) nx
  • Étape 4: Découvrez le produit des résultats obtenus aux étapes 1, 2 et 3.

Exemples

Vous pouvez télécharger ce modèle Excel de formule de distribution binomiale ici - Modèle Excel de formule de distribution binomiale

Exemple 1

Le nombre d'essais (n) est de 10. La probabilité de succès (p) est de 0,5. Faites le calcul de la distribution binomiale pour calculer la probabilité d'obtenir exactement 6 succès.

Solution:

Utilisez les données suivantes pour le calcul de la distribution binomiale.

Le calcul de la distribution binomiale peut être effectué comme suit,

P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6

                = (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4

               = 210 * 0,015625 * 0,0625

La probabilité d'obtenir exactement 6 succès  sera-

P (x = 6) = 0,205

La probabilité d'obtenir exactement 6 succès est de 0,2051

Exemple # 2

Un dirigeant d'une compagnie d'assurance passe en revue les données des polices d'assurance vendues par les vendeurs d'assurance travaillant sous sa direction. Il constate que 80% des personnes qui souscrivent à une assurance automobile sont des hommes. Il veut savoir que si 8 propriétaires d'assurance automobile sont choisis au hasard, quelle serait la probabilité que 5 d'entre eux soient des hommes.

Solution: Nous devons d'abord découvrir ce que sont n, p et x.

Le calcul de la distribution binomiale peut être effectué comme suit,

P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5

               = (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3

              = 56 * 0,32768 * 0,008

La probabilité d'exactement 5 succès  sera-

P (x = 5) = 0,14680064

La probabilité d'exactement 5 titulaires d'une assurance automobile étant des hommes est de 0,14680064.

Exemple # 3

La direction de l'hôpital est enthousiasmée par l'introduction d'un nouveau médicament pour traiter les patients atteints de cancer, car les chances qu'une personne soit traitée avec succès par ce médicament sont très élevées. La probabilité qu'un patient soit traité avec succès par le médicament est de 0,8. Le médicament est administré à 10 patients. Trouvez la probabilité que 9 patients ou plus soient traités avec succès.

Solution: Nous devons d'abord découvrir ce que sont n, p et x.

Nous devons trouver la probabilité que 9 patients ou plus soient traités avec succès. Ainsi, 9 ou 10 patients sont traités avec succès par elle

x (nombre pour lequel vous devez trouver la probabilité) = 9 ou x = 10

Il faut trouver P (9) et P (10)

Le calcul de la distribution binomiale pour trouver P (x = 9) peut être effectué comme suit,

P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9

               = (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2)

               = 10 * 0,134217728 * 0,2

La probabilité de 9 patients  sera-

P (x = 9) = 0,2684

Le calcul de la distribution binomiale pour trouver P (x = 10) peut être effectué comme suit,

P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10

                  = (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0

                  = 1 * 0,107374182 *

La probabilité de 10 patients  sera-

P (x = 10) = 0,1074

Par conséquent, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074

= 0,3758

Ainsi, la probabilité que 9 patients ou plus soient traités par le médicament est de 0,375809638.  

Calculateur de distribution binomiale

Vous pouvez utiliser la calculatrice de distribution binomiale suivante.

n
p
X
Formule de distribution binomiale =
 

Formule de distribution binomiale =n C x * px * (1 -p) nx
0 C 0 * 0 0 * (1- 0) 0 - 0 =0

Pertinence et utilisation

  • Il n'y a que deux résultats
  • La probabilité de chaque résultat reste constante d'un essai à l'autre
  • Il y a un nombre fixe d'essais
  • Chaque essai est indépendant, c'est-à-dire mutuellement exclusif des autres
  • Il nous fournit la distribution de fréquence du nombre possible de résultats positifs dans un nombre donné d'essais où chacun de ces essais donnés a la même probabilité de succès.
  • Chaque essai dans une expérience binomiale peut aboutir à seulement deux résultats possibles. Par conséquent, le nom est «binomial». L'un de ces résultats est connu comme le succès et l'autre comme un échec. Par exemple, les personnes malades peuvent répondre ou non à un traitement.
  • De même, lorsque nous lançons une pièce, nous ne pouvons avoir que deux types de résultats: face ou face. La distribution binomiale est une distribution discrète utilisée dans les statistiques, qui est différente d'une distribution continue.

Un exemple d'expérience binomiale est de lancer une pièce, disons trois fois. Lorsque nous lançons une pièce, seuls 2 résultats sont possibles: face et face. La probabilité de chaque résultat est de 0,5. Puisque la pièce est lancée trois fois, le nombre d'essais est fixé à 3. La probabilité de chaque tirage n'est pas influencée par les autres lancers.

La distribution binomiale trouve ses applications dans les statistiques des sciences sociales. Il est utilisé pour développer des modèles pour les variables de résultats dichotomiques lorsqu'il y a deux résultats. Un exemple de ceci est de savoir si les républicains ou les démocrates gagneraient les élections.

Formule de distribution binomiale dans Excel (avec modèle Excel)

Saurabh a appris l'équation de distribution binomiale à l'école. Il veut discuter du concept avec sa sœur et parier avec elle. Il pensait qu'il lancerait 10 fois une pièce impartiale. Il veut parier 100 $ pour obtenir exactement 5 queues en 10 lancers. Pour les besoins de ce pari, il veut calculer la probabilité d'obtenir exactement 5 queues en 10 lancers.

Solution: Nous devons d'abord découvrir ce que sont n, p et x.

Il existe une formule intégrée pour la distribution binomiale est Excel qui est

Il s'agit de BINOM.DIST (nombre de succès, d'essais, une probabilité de succès, FALSE).

Pour cet exemple de distribution binomiale serait:

= BINOM.DIST (B2, B3, B4, FALSE) où la cellule B2 représente le nombre de succès, la cellule B3 représente le nombre d'essais et la cellule B4 représente la probabilité de succès.

Par conséquent, le calcul de la distribution binomiale sera-

P (x = 5) = 0,24609375

La probabilité d'obtenir exactement 5 queues en 10 lancers est de 0,24609375

Remarque: FALSE dans la formule ci-dessus indique la fonction de masse de probabilité. Il calcule la probabilité qu'il y ait exactement n succès à partir de n essais indépendants. TRUE désigne la fonction de distribution cumulative. Il calcule la probabilité qu'il y ait au plus x succès à partir de n essais indépendants.